线性回归对大量的观测数据进行处理，从而得到比较符合事物内部规律的数学表达式。也就是说寻找到数据与数据之间的规律所在，从而就可以模拟出结果，也就是对结果进行预测。解决的就是通过已知的数据得到未知的结果。例如：对房价的预测、判断信用评价、电影票房预估等。
1.什么是线性回归
- 线性：两个变量之间的关系是一次函数关系的——图象是直线，叫做线性。
- 非线性：两个变量之间的关系不是一次函数关系的——图象不是直线，叫做非线性。
- 回归：人们在测量事物的时候因为客观条件所限，求得的都是测量值，而不是事物真实的值，为了能够得到真实值，无限次的进行测量，最后通过这些测量数据计算回归到真实值，这就是回归的由来。
2. 能够解决什么样的问题
对大量的观测数据进行处理，从而得到比较符合事物内部规律的数学表达式。也就是说寻找到数据与数据之间的规律所在，从而就可以模拟出结果，也就是对结果进行预测。解决的就是通过已知的数据得到未知的结果。例如：对房价的预测、判断信用评价、电影票房预估等。
3. 一般表达式是什么
$$Y=wx+b$$
w叫做x的系数，b叫做偏置项。
4. 如何计算
4.1 Loss Function–MSE
$$J=\frac{1}{2m}\sum^{i=1}_{m}(y^{‘}-y)^2$$
利用梯度下降法找到最小值点，也就是最小误差，最后把 w 和 b 给求出来。
5. 过拟合、欠拟合如何解决
使用正则化项，也就是给loss function加上一个参数项，正则化项有L1正则化、L2正则化、ElasticNet。加入这个正则化项好处：
- 控制参数幅度，不让模型“无法无天”。
- 限制参数搜索空间
- 解决欠拟合与过拟合的问题。
5.1 什么是L2正则化(岭回归)
方程：
$$J=J_0+\lambda\sum_{w}w^2$$
$J_0$ 表示上面的 loss function ，在loss function的基础上加入w参数的平方和乘以 $\lambda$ ，假设：
$$L=\lambda({w_1}^2+{w_2}^2)$$
回忆以前学过的单位元的方程：
$$x^2+y^2=1$$
正和L2正则化项一样，此时我们的任务变成在L约束下求出J取最小值的解。求解J0的过程可以画出等值线。同时L2正则化的函数L也可以在w1w2的二维平面上画出来。如下图：
L表示为图中的黑色圆形，随着梯度下降法的不断逼近，与圆第一次产生交点，而这个交点很难出现在坐标轴上。这就说明了L2正则化不容易得到稀疏矩阵，同时为了求出损失函数的最小值，使得w1和w2无限接近于0，达到防止过拟合的问题。
5.2 什么场景下用L2正则化
只要数据线性相关，用LinearRegression拟合的不是很好，需要正则化，可以考虑使用岭回归(L2), 如何输入特征的维度很高,而且是稀疏线性关系的话， 岭回归就不太合适,考虑使用Lasso回归。
5.3 什么是L1正则化(Lasso回归)
L1正则化与L2正则化的区别在于惩罚项的不同：
$$J=J_0+\lambda(|w_1|+|w_2|)$$
求解J0的过程可以画出等值线。同时L1正则化的函数也可以在w1w2的二维平面上画出来。如下图：
惩罚项表示为图中的黑色棱形，随着梯度下降法的不断逼近，与棱形第一次产生交点，而这个交点很容易出现在坐标轴上。这就说明了L1正则化容易得到稀疏矩阵。
5.4 什么场景下使用L1正则化
L1正则化(Lasso回归)可以使得一些特征的系数变小,甚至还使一些绝对值较小的系数直接变为0，从而增强模型的泛化能力 。对于高的特征数据,尤其是线性关系是稀疏的，就采用L1正则化(Lasso回归),或者是要在一堆特征里面找出主要的特征，那么L1正则化(Lasso回归)更是首选了。
5.5 什么是ElasticNet回归
ElasticNet综合了L1正则化项和L2正则化项，以下是它的公式：
$$min(\frac{1}{2m}[\sum_{i=1}^{m}({y_i}^{‘}-y_i)^2+\lambda\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2]+\lambda\sum_{j=1}^{n}|\theta|$$
5.6 ElasticNet回归的使用场景
ElasticNet在我们发现用Lasso回归太过(太多特征被稀疏为0),而岭回归也正则化的不够(回归系数衰减太慢)的时候，可以考虑使用ElasticNet回归来综合，得到比较好的结果。
6. 线性回归要求因变量服从正态分布？
我们假设线性回归的噪声服从均值为0的正态分布。 当噪声符合正态分布N(0,delta^2)时，因变量则符合正态分布N(ax(i)+b,delta^2)，其中预测函数y=ax(i)+b。这个结论可以由正态分布的概率密度函数得到。也就是说当噪声符合正态分布时，其因变量必然也符合正态分布。
在用线性回归模型拟合数据之前，首先要求数据应符合或近似符合正态分布，否则得到的拟合函数不正确。
7. 代码实现
GitHub：房价预测
8. 什么叫广义线性模型
广义线性模型相对于经典的线性模型(y=wx+b)，核心在于引入了连接函数g(.)，形式变为：y=g−1(wx+b)。
作者：@mantchs
